ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ САМОСОГЛАСОВАННОГО БАЗИСА УРАВНЕНИЙ ШРЁДИНГЕРА ИНВАРИАНТНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДИСКРЕТНЫХ CNV ГРУПП
В работе так называемым методом самосогласованного базиса найдены решения трёх двумерных уравнений Шрёдингера, которые являются инвариантными относительно преобразований дискретных групп Cnv, n=2,3,4. В классическом пределе классические системы, соответствующие этим уравнениям Шрёдингера допускают существование, как регулярных, так и хаотических режимов движения.
На примере решения C3v-симметричного уравнения Шрёдингера достаточно подробно и понятно последовательно изложены все этапы решения методом самосогласованного базиса, В этом методе решения уравнений Шрёдингера ищутся в виде тригонометрического ряда, в котором коэффициенты-функции находятся точным численным интегрированием исходного уравнения и потому эти коэффициенты-функции являются согласованными с видом исходного дифференциального уравнения, в частности, с поверхностью потенциальной энергией (ППЭ), которая может быть достаточно сложной. К примеру, было решено уравнение, в котором ППЭ имеет пять локальных минимумов и четыре седловины. Важной положительной особенностью метода самосогласованного базиса является возможность все его этапы, как аналитические, так и численные выполнить при помощи известных компьютерных систем символьных вычислений таких как Maple, Mathematica, Reduce, др. В настоящей работе была использована система Maple, в которой были составлены соответствующие программы, с помощью которых получены все представленные результаты. Для указанных уравнений Шрёдингера были различные уровни энергий и волновые функции, для некоторых из них были построены трехмерные изображения и изолинии. Проведено сравнение вычисленных нами значений энергии с имеющимися в литературе результатами других авторов и получено достаточно хорошее согласие. В одном случае для уравнения Шрёдингера с C3v симметрией было обнаружено, что высокая точность расчета уровней энергии методом самосогласованного базиса достигается с намного меньшим объемом вычислений по сравнению с методом диагонализации. Обнаружено также, что для вычисления уровней энергии из той области энергий, где классическое движение является хаотическим требуется более тщательная подгонка имеющихся двух параметров.
Баландин О.С., Беляева И.Н., Чеканов Н.А., Чеканов А.Н. Численное решение методом самосогласованного базиса уравнений Шрёдингера инвариантных относительно преобразований дискретных Cnv групп // Научный результат. Информационные технологии. – Т. 10, №2, 2025. – С. 13-24. DOI: 10.18413/2518-1092-2025-10-2-0-2
Пока никто не оставил комментариев к этой публикации.
Вы можете быть первым.
1. Виницкий С.И. Решение двумерного уравнения Шрёдингера в самосогласованном базисе / С.И. Виницкий, Е.В. Инопин, Н.А. Чеканов. Препринт ОИЯИ Р4-93-50, 1993. 12 с.
2.Чеканов Н.А. Численное решение стационарного уравнения Шрёдингера в приближении самосогласованного базиса / Н.А. Чеканов, Ю.А. Уколов // Материалы международного семинара «Супервычисления и математическое моделирование». Саров, ВНИИЭФ, 2004. С.101-102.
3. Беляева И.Н. Полуклассические расчеты энергетических уровней и волновых функций гамильтоновых систем с одной и несколькими степенями свободы на основе метода классических и квантовых нормальных форм / И.Н. Беляева, Н.И. Корсунов, Н.А. Чеканов, А.Н. Чеканов // Физико-химические аспекты изучения кластеров, наноструктур и наноматериалов, 2023. Вып. 15. С.255-263.
4. Уилкинсон Дж., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976. 392 с.
5. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассические приближения для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976. 292 с.
6. Фреман П.У., Фреман Н. ВКБ-приближение. М.: Мир, 1967. 168 с.
7. Борн М. Лекции по атомной механике. Харьков-Киев: ГНТИ, 1934. 312 с.
8. Ульянов В.В. Интегральные методы в квантовой механике. Харьков: Вища школа. Изд-во при Харьковском Университете, 1982. 160 с.
9. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 549 с.
10. Пузынин И.В. Обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона для численного исследования некоторых нелинейных квантово-полевых моделей // ФЭЧАЯ, 1999. Т.30. Вып. 1. С. 210-265.
11. Глазунов Ю.Т. Вариационные методы. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»: Институт компьютерных исследований, 2006. 470.с.
12. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л., Физматгиз, 1962. 708 с.
13. Banerjee K. The anharmonic oscillator / K. Banerjee, S.P. Bhatnagar, V. Choudhry, S.S. Kanwal // Proc. R. Soc. Lond., 1978. A.360. P.575-586.
14. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. том III. М.: гос. Изд-во физ.-мат. лит., 1963. 704 с.
15. Хейне В. Теория групп в квантовой механике. М.: Наука, 1963. 521 с.
16. Беляева И.Н., Лукьяненко А.Н., Чеканов Н.А. Программа вычисления собственных значений и функций симметричного двумерного оператора Шрёдингера методом самосогласованного базиса. Свидетельство об отрасл. Регистрации разработки №8364. Зарегистр.в отрасл. фонде алгоритмов и программ ФГНУ 21.05.2007.
17. Henon M., Heiles C. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments // Astr. J., 1964. V.69. N.1. P.73-91.
18. The transition regularity – chaos – regularity and statistical properties of energy spectra / Yu.L. Bolotin, V.Yu. Gonchar, V.N. Tarasov, N.A. Chekanov // Phys. Lett. 1989. V. A135. P. 29-32.
19. Проявления стохастичности в спектрах некоторых гамильтоновых систем с дискретной симметрией / Ю.Л. Болотин, С.И. Виницкий, В.Ю. Гончар, Н.А. Чеканов. Препринт ОИЯИ Р4-89-590, 1989. 12 с.