Передача информации по каналам связи, радиолокация, радионавигация, физические эксперименты и т.д. связаны с проблемой измерения и определения параметров сигналов, несущих информацию об исследуемом объекте. Информация может быть заключена в амплитуде сигнала, частоте, фазе, времени задержки и т.д. Во всех этих случаях необходимо определить с некоторой погрешностью истинное значение измеряемого параметра. Тем более что сигнал, несущий информацию, подвержен воздействию помех и искажений, возникающих, например, в случае многолучевого распространения сигнала. Поэтому алгоритмы, по которым обрабатываются сигналы, должны учитывать случайный характер этих сигналов. В связи с этим была развита математическая теория обработки сигналов, основанная на теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики.

Во многих задачах статистической радиотехники осуществляется прием сигналов, представляющих собой сумму независимых случайных величин. Например, при некогерентном поэлементном приеме с накоплением, выполняется сложение n элементов сигнала со случайными фазами при постоянной или случайной амплитуде [2]. При этом каждый элемент сигнала представляет собой фрагмент гармонического колебания со случайной начальной фазой, имеющей равномерное распределение на интервале (0÷2π). Амплитуда суммы n элементов сигнала представляет собой случайную величину, зависящую от значений фаз каждого из n суммируемых фрагментов гармонического колебания. Известно [4, 7], что амплитуда суммы двух элементов сигнала с постоянной амплитудой полностью описывается плотностью распределения случайной величины θ=cos(φ₁-φ₂)=cos(∆φ), представляющей собой косинус разности фаз двух суммируемых колебаний. 

                                                                                                      (1)

В случае суммирования n≥3 элементов сигнала необходимо иметь соответственно n-мерную плотность вероятности косинуса разности фаз. В теории вероятностей отсутствует формула n-мерной плотности распределения случайных величин, представляющих собой косинус разности фаз, имеющих равномерное случайное распределение. Тем не менее, потребность в такой формуле возникает всякий раз, когда необходимо выполнить операцию усреднения по случайной величине θ. Указанные обстоятельства определяют актуальность темы исследований, изложенных в данной статье.

Для нахождения формул n-мерной плотности распределения косинуса разности фаз можно использовать [1, 3] либо метод характеристических функций с последующим решением численными методами, либо статистическое моделирование с аппроксимацией экспериментальных данных в виде какой-либо функции. При этом следует иметь в виду, что при n>>1 плотность вероятностей w_n(θ) должна стремиться к нормальному закону распределения, а при малых значениях n закон распределения будет сильно видоизменяться. Именно поэтому в данной статье приводятся результаты исследований n-мерной плотности вероятности косинуса разности фаз для n≤5, а затем производится оценка нормализации совместного распределения для n случайных величин при n>>1.

Основная часть

Целью статьи является исследование n-мерной плотности распределения вероятностей косинуса разности фаз для малых и больших значений параметра n методом статистического моделирования.

Постановка задачи

При некогерентных методах передачи сигналов по каналам радиосвязи фаза принимаемого сигнала обычно является случайной величиной, принимающей значения в пределах от 0 до 2π. Пусть фаза сигнала – случайная величина φ, которая распределена равномерно на интервале [0, 2π]. В этом случае [4], закон распределения φ описывается простым выражением f(φ)=1/2π при 0≤φ≤2π. Требуется исследовать вероятностные характеристики некогерентного приёма радиосигнала с накоплением n элементов на основе статистического моделирования.

Для исследования n-мерной плотности распределения вероятностей косинуса разности фаз требуется создать модель, генерирующую заданное множество n случайных величин θ=сos(φ), где случайная величина φ, которая распределена равномерно на интервале [0, 2π]. Программа должна включать в себе генератор случайных чисел φ, распределенных по равномерному закону в интервале [0, 2π], тригонометрическую функцию вычисления cos(φ), накопитель суммы n значений и повтор эксперимента со сбором статистики. Для проведения исследований была использована прикладная программа MATLAB^®, с помощью которой реализован алгоритм разработанной модели и визуализация результатов моделирования.

Структурная схема разработанной модели изображена на рис. 1.

Рис. 1. Статистическая модель

Fig. 1. Statistical model

Переменными в модели являются два параметра: n – число слагаемых суммы, и N – количество опытов в эксперименте. Результат выводится в виде гистограмм, характеризующих статистику полученных значений случайной величины и её закон распределения.

Цель исследований, проводимых на данной модели, – получить законы распределения для заданных значений n и найти приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него. Количество опытов принято N=100000, и это значение использовано для всех экспериментов на данной модели.

Для нахождения выражения, описывающего эмпирические данные, было принято решение использовать интерполяционные полиномы, и производить соответствующие вычисления в программной среде MATLAB^®.

Результаты вычислительных экспериментов

В ходе моделирования получены законы совместного распределения n случайных величин для n≤5. На рис. 2, a,б,в,г представлены результаты моделирования в виде гистограмм при n=2, 3, 4, 5 соответственно.

Сопоставление гистограмм показывает существенное различие законов распределения случайной величины θ_n  для различных значений n. При этом очевидно, что уже при n=5 наблюдается нормализация закона распределения случайной величины θ_n .