Введение

Задачи имитационного моделирования функционирующих систем очень часто сводятся к необходимости формального описания протекающего процесса, модель которого необходимо построить. В свою очередь множество процессов можно описать определенным дифференциальным уравнением.

Исходя из вышесказанного, для моделирования численных алгоритмов решения дифференциальных уравнений будет выбран системный подход «Узел-Функция-Объект» как единый универсальный подход к исследованию явлений любой природы [1, с. 2]. Данный подход, в том числе, призван обеспечить возможность универсального представления всех видов знаний.

Упомянутый подход является относительно новым и может быть использован для моделирования численных алгоритмов решения дифференциальных уравнений. До настоящего времени данный подход использовался как средство моделирования бизнес-процессов, организационных знаний, а также слабо формализуемых предметных областей. Использование предлагаемого подхода для представления знаний с целью моделирования процесса решения дифференциальных уравнений обусловлено следующими соображениями.

Предметная область, в рамках которой осуществляется вычислительный процесс, сама представляет собой сложную систему. Следовательно, знания об этой предметной области также должны представлять собой систему. Анализ, рассмотренных в литературе по вычислительной математике и численным методам, видов представления дифференциальных уравнений показал, что все виды дифференциальных уравнений могут быть сведены к трем базовым видам: данным о зависимых и независимых параметрах функций (на уровне входов-выходов), процедурным данным (о динамике ее функционирования) и декларативным данным о субстанции системы (об объекте, выполняющем функцию). Представленные соображения и обуславливают использование УФО-подхода для решения задач данного исследования.

Основная часть

На текущем этапе исследования целью являлось моделирование процесса решения обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием численных методов анализа в терминах формализованного графоаналитического подхода «Узел-Функция-Объект».

Для достижения цели необходимо выполнить следующие задачи:

• адаптировать УФО-подход к задаче представления математических данных с целью моделирования процесса решения обыкновенных дифференциальных уравнений;
• разработать диаграммы, отражающие процесс решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в терминах «Узел-Функция-Объект»;
• представить результаты вычислений;
• построить графики функций с помощью программы UFOModeler;
• сделать вывод о точности математических вычислений программного обеспечения UFOModeler.

Будем рассматривать процесс итеративного вычисления дифференциального уравнения первого порядка в виде последовательных этапов, каждый из которых обладает результатом. Причем любая связь (поток) вычислительного процесса представляет собой набор качественных и количественных показателей некоторого объекта, который создается или выполняется в рамках текущего вычислительного процесса.

Рассмотрим пример решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с помощью метода Эйлера-Коши:

                                             (1)

Метод Эйлера-Коши является модификацией метода Эйлера и имеет второй порядок точности вычисления.

Контекстная модель такого процесса представлена на рисунке 1.

Исходя из рисунка 1, процесс вычисления дифференциального уравнения (1) можно рассматривать как определение функции y от «независимых параметров», к ним относят: интервал на котором рассматривается функция [0..1], шаг разбиения интервала – 0.1.

При этом зададим начальное условие решения y(0)=1 – «зависимый параметр».

Первый узел диаграммы «инкремент шага h» отвечает за проход по всему интервалу вычисления функции с заданным в условии шагом. Данный узел образует связь с узлом «вычисление приращения Dy», в котором выполняется вычисление  и :

,                                 (2)

,                                (3)

,                           (4)

где i=0,1,2,...,n.

Число n – количество шагов, определяемое как отношение интервала к размеру шагу:

                                            (5)

Рис. 1. Контекстная модель процесса вычисления дифференциального уравнения первого порядка

Fig. 1. The contextual process model calculations differential equation

Геометрически это означает, что сначала определяется направление интегральной кривой в исходной точке (x_i, y_i) и во вспомогательной точке , а в качестве окончательного направ-ления берется ср1еднее значение этих направ-лений.

Далее параметры, которые были определены в текущем узле, передаются к следующему связанному узлу «вычисление функции y» в котором определяется значение функции на текущем шаге интервала:

,                             (6)

Таким образом, рассматриваемое решение состоит из трех этапов. Так как алгоритм определения функции является итеративным, то ответ, полученный на данном шаге, возвращается через связь к первому узлу диаграммы для определения результата очередного шага.

Следующие методы вычисления функции имеют аналогичные диаграммы моделей, не требуют иллюстрации и подробного описания, отличаются только формулами вычисления приращения очередного шага.

Рассмотрим решение дифференциального уравнения (1) с помощью усовершенствованного метода Эйлера. Улучшение метода заключается в том, что отрезки, построенные между точками функции, должны быть параллельны касательным, которые проведены к графику функции y’ не на левых краях, а по центру интервалов разбиения. Суммарная погрешность этого метода есть величина О(h²).

Приведем формулу усовершенствованного метода Эйлера для узла «вычисление приращения Dy»:

.                  (7)

Приведем формулу усовершенствованного метода Эйлера для узла диаграммы «вычисление функции y»:

                        (8)

Рассмотрим решение дифференциального уравнения (1) с помощью метода Рунге-Кутта четвертого порядка.

Данный метод Рунге-Кутта требует на каждом шаге четырехкратного вычисления правой части f(x, y) уравнения (1). Суммарная погрешность этого метода есть величина О(h⁴).

Приведем формулу усовершенствованного метода Рунге-Кутта для узла «вычисление приращения Dy»:

.                                      (9)

.                 (10)

.                (11)

.                     (12)

Приведем формулу усовершенствованного метода Рунге-Кутта для узла диаграммы «вычисление функции y»:

.                         (13)

Сравним полученные результаты расчетов, проведенных в программе «UFOModeler» с точными значениями функции:

.                              (14)

Вычислим погрешность использованных методов по отношению к точному значению y*. Занесем данные в сводную таблицу.

Таблица

Погрешности вычисления дифференциального уравнения в зависимости от используемого метода

Table

Error of calculation of the differential equation depending on the method used

Исходя из значений, полученных в таблице 1 можно сделать вывод о том, что метод Рунге-Кутта является наиболее близким по отношению к точному значению, погрешность составляет |e| < 0,00001. Метод Эйлера-Коши и усовершенствованный метод Эйлера обладают меньшим классом точности, погрешность данных методов составляет |e| < 0,01.

На основании таблицы построим графики функций. Воспользуемся функцией построения графиков, встроенной в программу «UFOModeler».

На рисунке 2 представлены графики функций, из которых можно сделать вывод о точности приближенных методов решений.