ВВЕДЕНИЕ

Задачи принятия решений, в частности, многокритериального выбора возникают как в повседневной жизни, так и при проведении каких-либо исследований либо отборе каких-то объектов, процессов и/или их параметров довольно часто.

Методы многокритериального выбора при нечетких исходных данных отличаются следующими характеристиками [3]:

• тип представления нечетких исходных данных (критериальных оценок альтернатив, коэффициентов важности критериев и экспертов), т.е. вид представления знаний;
• возможность применения различных шкал для оценки;
• возможность учета разной значимости критериев;
• возможность проведения коллективной экспертизы;
• возможность учета различий (важности) экспертов;
• ограничения по количеству критериев оценки и экспертов;
• точность полученных оценок;
• трудоемкость и др.

Существует ряд методов многокритериального оценивания, отличающихся методиками проведения сравнения и оценки, а также рядом допущений в каждом методе. Каждый из них имеет свои достоинства и недостатки. В рамках данной статьи рассмотрено 4 подхода, решающие одну и ту же задачу выбора:

<>····Э  = f (Pi ),                                                                          (1)

Каждый параметр экспертными методами разбивается на ряд градаций, которые определяют на качественном уровне его степень влияния на вычисляемую эффективность, т.е. устанавливают для каждого параметра шкалу градаций. Это позволяет провести формализацию процедуры оценки, в том числе определить критериальные значения обобщенной функции оценки. Для того, чтобы учесть степень влияния каждого значимого параметра по отношению к остальным  необходимо ввести коэффициенты весомости, повышающие количественную оценку признака и определяемые экспертным путем по известным методикам  проведения экспертизы [2].

Обобщенную функцию оценки эффективности целесообразно выразить в нормированном  виде величиной, находящейся в диапазоне:

0 %  Ј    Э   Ј  + 100 %                                                      (2)

Используя в качестве критериального параметра количественную оценку Э, можно установить четкие критериальные значения для вывода о выбора варианта из предложенных.

Данная методика предусматривает определение меры оценки каждого информационного параметра, на основе которых можно количественно оценивать степень их влияния на конечный результат. При этом предполагается ранжирование параметров, вычисление соответствующих рангов,  нормирование последних и расчет количественных значений оценок соответствующих параметров.

Методика включает ряд следующих этапов. На первом этапе выделяются отдельные параметры, влияющие на выбор оптимального варианта. На втором этапе для  выделенного информационного параметра устанавливается  градационная шкала, каждый уровень которой отражает  степень влияния этого параметра на общий вывод. На третьем этапе определяются количественные значения каждого уровня шкалы градационного разбиения отдельных  информационных параметров. На четвертом, заключительном, этапе на основании выбранных для анализа информационных параметров и полученных значений градаций составляется лист экспертной оценки.

Рассмотрим задачу по выбору места для строительства аэропорта. [8]

Постановка задачи.

Возникла необходимость в построении еще одного аэропорта около города М. Правительство этой страны назначило комиссию по выбору места для аэропорта, которая приступила к работе. Были обследованы различные площадки около города, где постройка аэропорта нужного размера представлялась возможной. После многочисленных дискуссий комиссия определила три основных критерия для оценки вариантов расположения аэропорта.

1. Стоимость постройки. Желательно построить аэропорт с заданной пропускной способностью за наименьшую возможную цену.

2. Расстояние от города. Желательно, чтобы поездка пассажиров от аэропорта в город и обратно занимала наименьшее время.

3. Минимальное шумовое воздействие. Количество людей, подвергающихся нежелательным шумовым воздействиям, должно быть, по возможности, минимальным.

Рассмотрим альтернативные варианты расположения аэропорта:

A ($180млн., 70 мин, 10 тыс.);

B ($170млн., 40 мин, 15 тыс.);

C ($160млн., 55 мин, 20 тыс.);

D ($150млн., 50 мин, 25 тыс.);

Решение задачи с помощью метода ELECTRE

Веса критериев

Длины шкал

Составляем матрицы и несогласия

индексы согласия

A,B: I⁺: -,-,+ (вес=1)

        I⁼: -,-,-

C(A,B)=1/6

B,F: I⁺: + (вес=3),+ (вес=2),-

        I⁼: -,-,-

C(B,A)= (3+2)/6=5/6

И т.д.

Таблица 1

Индексы согласия и несогласия

Table 1

Indices of agreement and disagreement

индексы несогласия

A, B: А доминирует над B по 1-му и 2-му критерию

         d_AB=max {(180-170)/100; (70-40)/50}=0,6

A, С: А доминирует над С по 1-му и 2-му критерию

         d_AС=max {(180-160)/100; (70-55)/50}=0,3

и т.д.

В методе ELECTRE I бинарное отношение превосходства задается уровнями согласия и несогласия. Если С₁ > C_i и d₁ <d_i, где C_i, d_i — заданные уровни согласия и несогласия, то альтернатива А объявляется лучшей по сравнению с альтернативой В. Если же при этих уровнях сравнить альтернативы не удалось, то они объявляются несравнимыми.

Зададим первые уровни согласия и несогласия: c_i > 5/6 и d_i < 0,11. Отношения между альтернативами представлены на рисунке.

Рис. Отношения между альтернативами

Fig. Relationship between alternatives

В первое ядро входят альтернативы В и С, исключаются альтернативы А и D, что устанавливается с помощью таблиц индексов согласия и несогласия. Альтернативы В и С, входящие в ядро, несравнимы при введенных уровнях c_i и d_i (согласия и несогласия). Их оценки противоречивы: альтернатива С превосходит альтернативу В по первому критерию, но существенно уступает по двум другим критериям. Изменим уровни согласия и несогласия: c₂ > 0,5; d₂ < 0,2. При данных уровнях альтернатива В оказывается наилучшей из четырех альтернатив.

Рассмотрим, как осуществляется выбор наилучшей альтернативы с использованием Метода анализа иерархий (МАИ) [4].

Заполним матрицы парных сравнений, сравнивая сначала попарно критерии по их значимости в выборе площадки для аэропорта, а потом площадки попарно по степени предпочтительности относительно каждого из сформулированных критериев.

Таблица 2

Сравнение критериев по значимости в выборе площадки

Table 2

Comparison of criteria for significance in the choice of site

Таблица 3

Сравнение площадок по степени предпочтительности относительно стоимости

Table 3

Comparison sites on preference degree relative value

Таблица 4

Сравнение площадок по степени предпочтительности относительно времени в пути

Table 4

Comparing areas under the degree of preference of travel time with respect to

Таблица 5

Сравнение площадок по степени предпочтительности относительно количества человек

Table 5

Comparison sites on the degree of preference with respect to the number of persons

Таблица 6

Вектор глобальных приоритетов

Table 6

Vector global priorities

Таким образом, наиболее предпочтительной является альтернатива D.

Рассмотрим применение теории нечетких множеств к решению данной задачи.

Пусть x1 – стоимость, x2 – время в пути, x3 – количество людей – критерии для выбора лучшей альтернативы.

Запишем нечеткие множества. Весомости критериев уже ранее были найдены в методе Саати и составляют соответственно 0,65; 0,22 и 0,13.

Минимальная (стоимость) x1={0,6/u1, 0,7/u2, 0,8/u3, 0,9/u4}

Минимальное (время в пути) x2={0,4/u1, 0,9/u2, 0,6/u3, 0,5/u4}

Минимальное (количество людей) x3={0,9/u1, 0,8/u2, 0,7/u3, 0,6/u4}

Лучшая альтернатива определяется следующим образом

μ = max {{ min {0,6^0,65; 0,4^0,22; 0,9^0,13 };

min {0,7^0,65; 0,9^0,22; 0,8^0,13};

min {0,8^0,65; 0,6^0,22; 0,7^0,13};

min {0,9^0,65; 0,5^0,22; 0,6^0,13}}

μ = max {{ min {0,72; 0,82; 0,99}; min {0,79; 0,98; 0,97}; min {0,86; 0,89; 0,95}; min {0,93; 0,86; 0,94}}

μ = max {0,72; 0,79, 0,86, 0,86}

μ (a)= {0,72/u1; 0,79/u2, 0,86/u3, o,86/u4}

Таким образом, наилучшие альтернативы 3 и 4, наихудшая 1.

Рассмотрим применение метода учета информационных параметров для формализуемой оценки.

На первом этапе  определяется набор отдельных  информационных параметров, которые  принимаются для последующей их оценки в процессе общей комплексной оценки предложенных вариантов. В качестве информационных параметров приняты для оценки следующие: стоимость постройки, расстояние от города, минимальное шумовое воздействие.

На втором этапе для каждого параметра устанавливаются градационные шкалы, позволяющие оценить степень влияния каждого на эффективность выбора:

- стоимость постройки – 4 градации ($180млн., $170млн., $160млн., $150млн.)

- расстояние от города – 4 градации (70 мин, 55 мин, 50 мин, 40 мин)

- минимальное шумовое воздействие – 4 градации (25 тыс., 20 тыс., 15 тыс., 10 тыс.)

На третьем этапе  определяются количественные значения каждого уровня шкалы градационного разбиения отдельных  параметров качества с учетом назначенных коэффициентов их весомости. Для каждого параметра экспертным путем установлены следующие коэффициенты весомости:

- стоимость постройки – k1=3

- расстояние от города – k2=2

- минимальное шумовое воздействие – k3=1

Коэффициент  нормирования параметров - N     =  100  /  6 ≈ 16

Ранги для каждого параметра

- стоимость постройки – r1=50

- расстояние от города – r2=33

- минимальное шумовое воздействие – r3=17

На четвертом этапе  на базе полученных данных формируется лист экспертной  оценки  эффективности использования ИР, который представлен в таблице 7.

Таблица 7

Лист экспертной оценки

Table 7

Expert evaluation sheet

Вычисленные эффективности для возможных вариантов

A ($180млн., 70 мин, 10 тыс.) – 17;

B ($170млн., 40 мин, 15 тыс.) – 61;

C ($160млн., 55 мин, 20 тыс.) – 49;

D ($150млн., 50 мин, 25 тыс.) – 72.

Лучший вариант – D.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, сравнивая результаты, полученные с использованием разных многокритериальных методов, можно сделать следующие выводы. Метод анализа иерархий обычно дает результаты, хорошо согласующиеся с интуитивными представлениями экспертов при рациональном подходе к принятию решений. Несовпадение результатов, полученных разными методами, объясняется разными способами представления экспертной информации и различием подходов к принятию решений. Например, в МАИ и в формализованном методе заложен рационально-взвешенный подход, основанный на попарных сравнениях объектов и нормированных весовых коэффициентах. Максиминная свертка является реализацией пессимистического подхода, когда лучшей является альтернатива, имеющая минимальные недостатки по всем критериям.

Положительным моментом использования многокритериальных методов на нечетких моделях и формализованного метода в отличие от МАИ является тот факт, что при добавлении новых альтернатив не изменяется порядок ранее ранжированных наборов.

Таким образом, для получения более обоснованных результатов сравнения предпочтительней использовать МАИ либо формализованную оценку. Но если необходимо получить не только ранжирование альтернатив по предпочтительности, но и количественные оценки этих предпочтений, то наиболее целесообразно использовать именно метод анализа иерархий.