В работе так называемым методом самосогласованного базиса найдены решения трёх двумерных уравнений Шрёдингера, которые являются инвариантными относительно преобразований дискретных групп Cnv, n=2,3,4. В классическом пределе классические системы, соответствующие этим уравнениям Шрёдингера допускают существование, как регулярных, так и хаотических режимов движения. На примере решения C3v-симметричного уравнения Шрёдингера достаточно подробно и понятно последовательно изложены все этапы решения методом самосогласованного базиса, В этом методе решения уравнений Шрёдингера ищутся в виде тригонометрического ряда, в котором коэффициенты-функции находятся точным численным интегрированием исходного уравнения и потому эти коэффициенты-функции являются согласованными с видом исходного дифференциального уравнения, в частности, с поверхностью потенциальной энергией (ППЭ), которая может быть достаточно сложной. К примеру, было решено уравнение, в котором ППЭ имеет пять локальных минимумов и четыре седловины. Важной положительной особенностью метода самосогласованного базиса является возможность все его этапы, как аналитические, так и численные выполнить при помощи известных компьютерных систем символьных вычислений таких как Maple, Mathematica, Reduce, др. В настоящей работе была использована система Maple, в которой были составлены соответствующие программы, с помощью которых получены все представленные результаты. Для указанных уравнений Шрёдингера были различные уровни энергий и волновые функции, для некоторых из них были построены трехмерные изображения и изолинии. Проведено сравнение вычисленных нами значений энергии с имеющимися в литературе результатами других авторов и получено достаточно хорошее согласие. В одном случае для уравнения Шрёдингера с C3v симметрией было обнаружено, что высокая точность расчета уровней энергии методом самосогласованного базиса достигается с намного меньшим объемом вычислений по сравнению с методом диагонализации. Обнаружено также, что для вычисления уровней энергии из той области энергий, где классическое движение является хаотическим требуется более тщательная подгонка имеющихся двух параметров.
In this work, using the so-called self-consistent basis method, solutions to three two-dimensional Schrödinger equations are found, which are invariant under transformations of discrete groups Cnv, n=2,3,4. In the classical limit, classical systems corresponding to these Schrödinger equations allow the existence of both regular and chaotic modes of motion. Using the example of solving the C3v-symmetric Schrödinger equation, all stages of the solution by the self-consistent basis method are presented in sufficient detail and clearly. In this method, solutions to the Schrödinger equations are sought in the form of a trigonometric series in which the coefficient functions are found by exact numerical integration of the original equation and therefore these coefficient functions are consistent with the form of the original differential equation, in particular, with the potential energy surface (PES), which can be quite complex. For example, an equation was solved in which the PES has five local minima and four saddle points. An important positive feature of the self-consistent basis method is the ability to perform all its stages, both analytical and numerical, using well-known computer systems for symbolic calculations such as Maple, Mathematica, Reduce, etc. In this work, the Maple system was used, in which the corresponding programs were compiled, with the help of which all presented results were obtained. For these Schrödinger equations there were various energy levels and wave functions, for some of them three-dimensional images and isolines were constructed. We compared the energy values we calculated with the results of other authors available in the literature and obtained fairly good agreement. In one case, for the Schrödinger equation with C3v symmetry, it was found that high accuracy calculations of energy levels using the self-consistent basis method were achieved with much less computation compared to the diagonalization method. It was also discovered that to calculate energy levels from the energy region where classical motion is chaotic, a more careful adjustment of the two available parameters is required.